Top.Mail.Ru
Персональный сайт учителя информатики Звездиной Веры Алексеевны

Понятная информатика,

или Давайте учиться дружно!

Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Читать
Смотреть и скачать
Скачать презентацию

Кодирование чисел, системы счисления, примеры решения задач к ЕГЭ, задание 16 

(базовый уровень, примерное время решения – 2 минуты). 

Для решения данного задания следует повторить теорию, изложенную в «Методических рекомендациях по изучению темы» или презентацию к ним, обратив при этом особое внимание на закономерности, позволяющие быстро и наиболее безошибочно решить поставленную задачу.

И помним, что системы счисления – для нас это всего лишь способ записи чисел, значит, что все правила и закономерности работают во всех системах счисления одинаково.

 

Заметим также, что 2N + 2N = 2 * 2N = 2N+1.    Тогда  2N = 2N+1 - 2N, а  -2N = -2N+1 + 2N.

Проверить правильность этих формул легко, достаточно подставить вместо N любые числа. Проверьте их так же в других системах счисления и сделайте выводы!

 

Рассмотрим различные задачи, которые встречаются в данном задании, и способы их решения. Начнем с самых простых задач, которые вряд ли будут на ЕГЭ, но решение которых научит нас  быстро и просто решать самые сложные задачи.

 

Задача 1Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 20 оканчивается на 4.

Решение.  Заметим, что в результате перевода числа 23 в систему счисления с основанием N в нем имеется цифра «4», то есть N ≥ 5.

Вспомним, что последняя цифра числа – это первый остаток от деления числа на основание системы счисления, в которой это число записано.

Тогда 4 – это остаток от деления числа 20  на N – основания систем счисления, которые требуется найти.

Так как значность числа, получаемого после перевода в другую систему счисления, не определена, то условие задачи можно записать как  k * N + 4 = 20.  

Значит, N = (20-4) / k.

Тогда при k = 1 получаем  N = 20 - 4 = 16,  и это максимально возможное основание системы. Остается определить все возможные N ≥ 5. которые будут  делителями  числа 16.

Тогда N =  8,16.

Для проверки поделите 20 на N  и сравните остаток с заданным в условии задачи.

Ответ: 8, 16

 

Задача 2.   Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 23. 

Решение.  Заметим, что в результате перевода числа 75 в систему счисления с основанием N в нем имеется цифра «3», то есть N ≥ 4.

Здесь 3 – это остаток от деления числа 75  на N, а 23 -  это остаток от деления числа 75  на N2, где  N - основания систем счисления, которые требуется найти.

Будем считать, что запись числа 75 в системе с основанием  состоит из трех цифр (оставим желающим математикам возможность доказать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна), причем две младшие (23) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

          75 = k * N2 + 2 * N + 3

Тогда   k = (72 - 2 * N) / N2,  

 

Здесь есть две неизвестные переменные k и N, но будем учитывать, что это – натуральные числа и выразим k через N. Тогда задача сводится к тому, чтобы найти и отобрать только те из N,  при которых  k – целое число, то есть N2 < 72 – 2 * N  и  4 ≤ N ≤  7.

Выпишем все числа, удовлетворяющие условиям, получаем числа: 4 и 36.

Обратите внимание, что последним (наибольшим) числом в таких задачах  всегда будет N,  при котором числитель равен нулю. Тогда  k = 0  и при переводе  исходного числа в систему счисления с основанием N будет двузначным.

Например, в данной задаче:  75 = 2 * N + 3.

Ответ: 4, 36

 

Задача 3. Запись числа 3210 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 3 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение. Для быстрого решения задачи вспомним, что 0 здесь – это остаток от деления числа 32 на N, а  так как длина полученного при переводе числа равна 4, то   N2 ≤  32 < N3.

Тогда нам остается найти такое N, которое будет делителем  числа 32 и удовлетворять неравенству, то есть N = 4.

Ответ: 4

 

Задача 4.   Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

Решение.  Перед решением данной задачи вспомним, что система счисления – это всего лишь способ записи чисел, и все закономерности, которые есть между числами в исходной системе, сохраняются при переводе этих чисел в любую другую систему счисления.

Тогда, если искомые числа Х ≤ 26, то и переведенные в троичную систему счисления, эти числа Х3  будут меньше результата перевода в троичную систему числа  26 = 2223.

Остается найти числа, которые меньше 2223 и оканчиваются на 223, это будут: 223, 1223 и 2223. Переведем их в десятичную систему счисления и получаем результат: 

223 = 8, 1223 = 17, 2223 = 26.

Ответ: 8, 17, 26.

 

Задача 5Десятичное число, переведенное в семеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?

Решение.   Если при переводе исходного числа в обе системы счисления результат будет оканчиваться на 0, а найти нужно минимальное число, то нам нужно искать наименьшее общее кратное этих чисел, это будет 7 * 9 = 63.

Ответ: 63

 

Задача 6.   В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 83 записывается в виде 123. Укажите это основание.

Решение.  Сравнив исходное число и результат перевода  83 = 123N, получаем, что:

  • N – меньше 10 ;
  • в результате деления числа 83 на N в остатке получаем 3:
  • N2 ≤  83 < N3.

Все эти условия выполняются при N = 8.

Ответ: 8

 

Задача 9Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 3 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 4.

Решение.  Чтобы решить эту задачу быстро, без ошибок и дополнительных проверок, предлагаю нарисовать двух строчную таблицу (хоть это займет немного «лишнего» времени, но сэкономим в дальнейшем отсутствием проверок), в которой перечислим все заданные числа в исходной системе счисления. Переведем в четверичную систему счисления первое и последнее из заданных чисел, а остальное запишем в таблицу, и если получилось так, что количество исходных чисел равно количеству результатов (столбцов хватило для ответов и не осталось пустых), то останется только найти и посчитать цифры 3 во второй строке:

 

 

 

 

 

Ответ: 6

 

Задача 10.  В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. Найдите основание системы счисления, в которой указаны эти числа.

Решение. Запишем условие задачи «в столбик»:

                    14

                 +

                    42

                  100

И видим, что 4N + 2N = 10N

Тогда 4+2 = 6 = 10N   только при N= 6. Для проверки 1 + 4 + 1 = 6 = 106 .

Ответ: 6

 

Задача 11Сколько единиц в двоичной записи числа 42015 + 22015 – 15?

Решение.  Перед решением задач данного типа следует привести все заданные значения в степень двойки и упорядочить их по убыванию степеней:

                 42015 + 22015 – 15 = 24030 + 22015 – 24 + 20

Вспомним, что число 2N–2K  при K < N в двоичной системе записывается как N–K единиц и K нулей:

                                                      2N – 2K = 1…1 0…02

                                                                      N-K   K

(аналогично для всех оснований систем счисления). 

 

Число 24030 дает одну единицу в результате, запомним это.

Тогда 

                                                 22015 – 24 = 1…1 0…0

                                                                                2011  4

а  +20добавит одну единицу в конце. Итого получаем 2013 единиц.

Ответ: 2013

 

Задача 12Сколько единиц в двоичной записи числа 82341 – 4342 + 2620 – 81?

Решение82341 – 4342 + 2620 – 81 = 27023 – 2682 + 2620 – 27 +25 + 24 - 20

Выражение 27023 – 2684 дает 6339 единиц и 684 нуля, 2620 –27  дает еще 613  единиц, 25 + 24 - 20  дает еще 5 единиц. Итого получаем 6339 + 613 + 5 = 6957 единиц.

Ответ: 6957

 

Задача 13.  (Е.А. Мирончик) Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16 и 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:

X = 1*016 = 56*8

Определите число X.

Решение.  Переведем оба числа в двоичную систему счисления:

1 * 016  = 1  * * * *  0  0 02

    56*8 = 1 0 1 1 1 0 * * *2

Заменяем звездочки известными значениями, получаем  X =1011100002 = 5608 = 368

Ответ: 368

10 с/с

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

  4 с/с

31

32

33

100

101

102

103

110

111

112

113

© 2018–2020   Звездина Вера Алексеевна, v_zvezdina@mail.ru

SSL