Top.Mail.Ru
Персональный сайт учителя информатики Звездиной Веры Алексеевны

Понятная информатика,

или Давайте учиться дружно!

Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Смотреть презентацию
Скачать презентацию
Скачать презентацию
Читать
Смотреть и скачать

Позиционные системы счисления, примеры решения задач к ЕГЭ - 2021, задание 14, часть 2 (по ДЕМО-версии-2021)

(базовый уровень, примерное время решения – 2 минуты). 

Обозначим  через  N  основание системы счисления.

Тогда  наибольшая цифра  в  системе счисления  с основанием  N  равна  N-1.

 

Следует помнить, что:

  • Любое основание N в своей  системе счисления выглядит  как 10, т.е.

 

                                    N10 = 10N

 

          (например: 210=102,  310=103,  810=108,  1610=1016  и  так далее).

 

  • Степень любого основания N в своей  системе счисления выглядит как  единица и количество нулей,  равных  степени, т.е.  

                                         Nk =   1 0…0N

                                       k

          (например:  4=22=1002,  8=23 =10002,  16=24=100002  и  так далее).

 

  • Число, стоящее перед k-той степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из  k  самых больших цифр этой системы  счисления, т.е.

 

                                            Nk - 1 =  (N-1)…(N-1)N

                                                                      k

                             Тогда      2k – 1 =  1…12    

                                                                                         

            (например: 3=22-1=112, 7=23 -1=1112, 15=24-1=11112   и  так далее).

 

  • Число    Nk– Nm = Nk · (Nk-m – 1)  записывается в системе счисления с основанием N как  k-m  старших цифр этой системы счисления, за которыми следует  k  нулей:   

                                                                 

                                       Nm – Nk = (N-1)…(N-1) 0…0N

                                                          m – k           k

                        Тогда

                                        2m – 2k = 1…1 0…02

                                                       m – k    k

 

(например: 103 - 102 = 900, 103 - 101 = 990, 105 - 103 = 99000, 25 – 22 = 111002,   35 – 32 = 222003  и  так далее).

 

Примеры  и способы решения задач.

 

Задача 1.

Сколько единиц в двоичной записи числа   81025 + 21024 – 3 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 3 = 4 - 1:

 

                                             81025 + 21024 – 3 = 23075 + 21024 – 22 + 20

 

Количество единиц  в разности 21024 – 22  будет  1024-2 = 1022 единицы + 1 единица (число 24032) +  1 единица от  числа 20, то всего  получаем 1022+1+1 = 1024 единицы.

Ответ: 1024

 

Задача 2.

Сколько единиц в двоичной записи числа   82014 – 2614 + 45?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

 

                                   82014 – 2614 + 45 = 26042 - 2614 + 25 + 23+ 22 + 20

 

Количество единиц  в разности 26042 - 2614   будет  6042 – 614  = 5428 единиц + 4 единицы от чисел 25, 23, 22 и  20 , то всего  получаем  5428+4 = 5432  единицы.

Ответ: 5432

 

Задача 3.

Значение арифметического выражения   410 + 290 - 16   записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней:

                                     220 + 290 – 24 = 290 + 220 – 24

 

Тогда после перевода в двоичную систему счисления в числе 290будет 1 единица,  в разности 220 – 24 будет

20 - 4 = 16 единиц  и 4 нуля. Следовательно, в полученном результате получаем всего 16 + 1 = 17 единиц.

Ответ: 17

 

Задача 4.

Значение арифметического выражения   6410 + 260 - 16   записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  8  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 16 = 8 + 8:

 

                                 412 + 260 - 16   = 820 + 830 – 16 = 830 + 820– 81 – 81  

 

Ищем в разности крайнюю левую степень восьмерки и крайнюю правую 820 – 81, при этом среднюю 81 на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 820 – 81, получаем 20 - 1 = 19 семерок.

Так как «внутри» этой разности есть еще 81, то просто вычитаем одну семерку: 19 – 1 = 18.

Ответ: 18.

 

Задача 5.

Сколько единиц в двоичной записи числа   42018 + 8305 – 2130 – 120 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

 

                                 42018 + 8305 – 2130 – 120 = 24036 + 2915 – 2130 - 27 + 23

 

Ищем в разности  (2915 – 2130 - 27)  крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2915– 27, при этом среднюю 2130 на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 2915– 27, получаем 915-7 = 908 единиц.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2130, то просто вычитаем одну единицу:  908 – 1 = 907.

Прибавляем  2  единицы от чисел 24036   и  23, то всего  получаем 907 + 2 = 909  единиц.

Ответ: 909

 

Задача 6.

Значение арифметического выражения   99 – 39 + 919 – 19   записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  3  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 19 = 27 – 8 + 1+1:

 

               99 – 39 + 919 – 27 + 9  - 1 -1 = 318 + 338 – 33 + 32 – 30 = 338 + 318 – 33 + 32 – 30 – 30

 

Разбиваем нашу запись на две разности 318 – 33  и 32 – 30  и вычисляем их отдельно.

Количество двоек в разности 318 – 33   будет  18-3 = 15, в разности 32 – 3 будет равно 2, всего 15 + 2 = 17 двоек. Вычитаем из них еще одну единицу, так как 30 = 12. При этом последняя цифра меняется как 2-1=1, в результате получаем 17-1 = 16 двоек.

Ответ: 16

 

Задача 7.

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа   4512 + 8512 – 2128 – 250 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 28 – 22 - 21:

 

                   4512 + 8512 – 2128 – 256+ 4 + 2  = 21024 + 21536 – 2128 – 28 + 22 + 21                                                                                                                               = 21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21

 

Ищем в разности  21024 – 2128 – 28  крайнюю левую степень двойки  и крайнюю правую 21024 –28, при этом среднюю 2128 на время «теряем».

В разности 21024 –28  будет 1024 - 8 = 1016 единиц  и  8 нулей.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2128, то просто заменяем одну единицу  (на 128 месте) на ноль и получаем 1015 единиц и  9 нулей.

 

С этого момента можно решать задачу двумя способами:

 

1) Между 21536  и  21024 (до конца числа)  есть еще 1536-1024=512 нулей,  два из которых заняты единицами (22+21), тогда получаем еще 512-2 = 510 нулей.

Итого в результате вычислений получаем 510+9 = 519  нулей.

Можно показать это вычисление на схеме, где вычисляемая выше разность выделена черным цветом:

 

      Всего      1 ед. + 1534 нуля + 2 ед.в конце                _

                                          1 ед.+1022 нуля + 2 ед.в конце                      

                     21536       _  + _  21024 – 2128 – 28      +    22+ 21

                    1 ед.+510 нулей + 1015 ед. + 9 нулей + 2 ед.

 

2) Посчитать общее число единиц после выполнения вычислений и вычесть их общей длины исходного двоичного числа.

                                        21536 + 21024 – 2128 – 28 + 22 + 21

                                       1 ед.  +       1015 ед.      +  2 ед .  = 1018 ед.

 

Так как  21536   = 10…0 2   равна 1537 знаков, то в нем будет 1537-1018 = 519 нулей.

                              1536

Ответ: 519

 

Задача 8.

Сколько единиц в двоичной записи числа   42016  + 22018 – 8600 + 6 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 6 = 4 + 2:

 

                              42016  + 22018 – 8600 + 6 = 24032 + 22018 – 21800 + 22 + 21

 

После перевода числа  24032 в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц  в разности 22018 – 21800  будет  2018-1800 = 218 единиц + 1 единица (число 24032) +  2 единицы от  чисел 22 и 21, то всего  получаем 218+3 = 221 единицу.

Ответ: 221

 

Задача 9.

Сколько единиц в двоичной записи числа   42016  – 22018 + 8800 – 80?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 80 = 64 + 16:

 

           42016  – 22018 + 8800 – 80= 24032- 22018 + 22400 – 26 - 24 = 24032  + 22400 - 22018 – 26 - 24

 

Далее рассмотрим два способа решения задачи.

 

 

1). После перевода числа  24032 в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Из записи 22400 - 22018– 26 - 24 возьмем разность первого и последнего чисел 22400 - 24   и получаем  2396  единиц. Вычитаем из них 2 единицы, которые дают числа 26 и  24, остается 2394 единицы.

Тогда всего получаем 1 + 2394 = 2395 единиц.

 

2). Будем решать данную задачу путем последовательных вычитаний.

После перевода числа  24032 в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц  в разности 24000 – 22018  будет  4000-2018 = 382 и 2018 нулей.

Оставляем  381 единицу, используя далее 1 единицу и 2018 нулей, что равно числу  22018.

Далее, в разности  22018 - 26  будет 2012 единиц и 6 нулей.

Оставляем 2011 единиц, остается число 26. Тогда разность 26 – 24   получаем 2 единицы.

Складываем все единицы и получаем   1 + 381 + 2011 + 2 = 2395  единиц.

Ответ: 2395

10 с/с

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

  4 с/с

31

32

33

100

101

102

103

110

111

112

113

© 2018–2021   Звездина Вера Алексеевна, v_zvezdina@mail.ru

SSL