Понятная информатика,

Позиционные системы счисления, примеры решения задач к ЕГЭ - 2023, задание 14, часть 2 (по ДЕМО-версии-2021)

(базовый уровень, примерное время решения – 2 минуты). 

Есть вопросы и замечания - пишите!

Обозначим  через  N  основание системы счисления.

Тогда  наибольшая цифра  в  системе счисления  с основанием  N  равна  N-1.

 

Следует помнить, что:

• Любое основание N в своей  системе счисления выглядит  как 10, т.е.

 

                                    N₁₀ = 10^_N

 

          (например: 210=102,  310=103,  810=108,  1610=1016  и  так далее).

 

• Степень любого основания N в своей  системе счисления выглядит как  единица и количество нулей,  равных  степени, т.е.  

                                         N^k =   1 0…0_N

                                       ^k

          (например:  4=22=1002,  8=23 =10002,  16=24=100002  и  так далее).

 

• Число, стоящее перед k-той степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из  k  самых больших цифр этой системы  счисления, т.е.

 

                                            N^k - 1 =  (N-1)…(N-1)_N

                                                                      k

                             Тогда      2^k – 1 =  1…1₂    

                                                                k                          

            (например: 3=22-1=112, 7=23 -1=1112, 15=24-1=11112   и  так далее).

 

• Число    N^k– N^m = N^k · (N^k-m – 1)  записывается в системе счисления с основанием N как  k-m  старших цифр этой системы счисления, за которыми следует  k  нулей:   

                                                                 

                                       Nm – Nk = (N-1)…(N-1) 0…0_N

                                                          m – k           k

                        Тогда

                                        2^m – 2^k = 1…1 0…0₂

                                                       ^{m – k    k}

 

(например: 103 - 102 = 900, 103 - 101 = 990, 105 - 103 = 99000, 25 – 22 = 111002,   35 – 32 = 222003  и  так далее).

 

Примеры  и способы решения задач.

 

Задача 1.

Сколько единиц в двоичной записи числа   8¹⁰²⁵ + 2¹⁰²⁴ – 3 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 3 = 4 - 1:

 

                                             8¹⁰²⁵ + 2¹⁰²⁴ – 3 = 2³⁰⁷⁵ + 2¹⁰²⁴ – 2² + 2⁰

 

Количество единиц  в разности 2¹⁰²⁴ – 2²  будет  1024-2 = 1022 единицы + 1 единица (число 2⁴⁰³²) +  1 единица от  числа 20, то всего  получаем 1022+1+1 = 1024 единицы.

Ответ: 1024

 

Задача 2.

Сколько единиц в двоичной записи числа   8²⁰¹⁴ – 2⁶¹⁴ + 4⁵?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

 

                                   8²⁰¹⁴ – 2⁶¹⁴ + 4⁵ = 2⁶⁰⁴² - 2⁶¹⁴ + 2⁵ + 2³+ 2² + 2⁰

 

Количество единиц  в разности 2⁶⁰⁴² - 2⁶¹⁴   будет  6042 – 614  = 5428 единиц + 4 единицы от чисел 2⁵, 2³, 2² и  2⁰ , то всего  получаем  5428+4 = 5432  единицы.

Ответ: 5432

 

Задача 3.

Значение арифметического выражения   4¹⁰ + 2⁹⁰ - 16   записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней:

                                     2²⁰ + 2⁹⁰ – 2⁴ = 2⁹⁰ + 2²⁰ – 2⁴

 

Тогда после перевода в двоичную систему счисления в числе 2⁹⁰будет 1 единица,  в разности 2²⁰ – 2⁴ будет

20 - 4 = 16 единиц  и 4 нуля. Следовательно, в полученном результате получаем всего 16 + 1 = 17 единиц.

Ответ: 17

 

Задача 4.

Значение арифметического выражения   6⁴¹⁰ + 2⁶⁰ - 16   записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  8  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 16 = 8 + 8:

 

                                 4¹² + 2⁶⁰ - 16   = 8²⁰ + 8³⁰ – 16 = 8³⁰ + 8²⁰– 8¹ – 8¹  

 

Ищем в разности крайнюю левую степень восьмерки и крайнюю правую 8²⁰ – 8¹, при этом среднюю 8¹ на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 8²⁰ – 8¹, получаем 20 - 1 = 19 семерок.

Так как «внутри» этой разности есть еще 8¹, то просто вычитаем одну семерку: 19 – 1 = 18.

Ответ: 18.

 

Задача 5.

Сколько единиц в двоичной записи числа   4²⁰¹⁸ + 8³⁰⁵ – 2¹³⁰ – 120 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

 

                                 4²⁰¹⁸ + 8³⁰⁵ – 2¹³⁰ – 120 = 2⁴⁰³⁶ + 2⁹¹⁵ – 2¹³⁰ - 2⁷ + 2³

 

Ищем в разности  (2915 – 2130 - 27)  крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2^915– 2⁷, при этом среднюю 2¹³⁰ на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 2⁹¹⁵– 2⁷, получаем 915-7 = 908 единиц.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2¹³⁰, то просто вычитаем одну единицу:  908 – 1 = 907.

Прибавляем  2  единицы от чисел 2⁴⁰³⁶   и  2³, то всего  получаем 907 + 2 = 909  единиц.

Ответ: 909

 

Задача 6.

Значение арифметического выражения   9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19   записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  3  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 19 = 27 – 8 + 1+1:

 

               9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 27 + 9  - 1 -1 = 3¹⁸ + 3³⁸ – 3³ + 3² – 3⁰ = 3³⁸ + 3¹⁸ – 3³ + 3² – 3⁰ – 3⁰

 

Разбиваем нашу запись на две разности 3¹⁸ – 3³  и 3² – 3⁰  и вычисляем их отдельно.

Количество двоек в разности 3¹⁸ – 3³   будет  18-3 = 15, в разности 3² – 3⁰  будет равно 2, всего 15 + 2 = 17 двоек. Вычитаем из них еще одну единицу, так как 3⁰ = 1₂. При этом последняя цифра меняется как 2-1=1, в результате получаем 17-1 = 16 двоек.

Ответ: 16

 

Задача 7.

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа   4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 2⁸ – 2² - 2¹:

 

                   4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 256+ 4 + 2  = 2¹⁰²⁴ + 2¹⁵³⁶ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹ =                                                                                                                                = 2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

 

Ищем в разности  2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸  крайнюю левую степень двойки  и крайнюю правую 2¹⁰²⁴ –2⁸, при этом среднюю 2¹²⁸ на время «теряем».

В разности 2¹⁰²⁴ –2⁸  будет 1024 - 8 = 1016 единиц  и  8 нулей.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2¹²⁸, то просто заменяем одну единицу  (на 128 месте) на ноль и получаем 1015 единиц и  9 нулей.

 

С этого момента можно решать задачу двумя способами:

 

1) Между 2¹⁵³⁶  и  2¹⁰²⁴ (до конца числа)  есть еще 1536-1024=512 нулей,  два из которых заняты единицами (22+21), тогда получаем еще 512-2 = 510 нулей.

Итого в результате вычислений получаем 510+9 = 519  нулей.

Можно показать это вычисление на схеме, где вычисляемая выше разность выделена черным цветом:

 

      Всего      1 ед. + 1534 нуля + 2 ед.в конце                _

                                          1 ед.+1022 нуля + 2 ед.в конце                      

                     2¹⁵³⁶       _  + _  2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸      +    2²+ 2¹

                    1 ед.+510 нулей + 1015 ед. + 9 нулей + 2 ед.

 

2) Посчитать общее число единиц после выполнения вычислений и вычесть их общей длины исходного двоичного числа.

                                        2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

                                       1 ед.  +       1015 ед.      +  2 ед .  = 1018 ед.

 

Так как  2¹⁵³⁶   = 10…0 ₂   равна 1537 знаков, то в нем будет 1537-1018 = 519 нулей.

                              ¹⁵³⁶

Ответ: 519

 

Задача 8.

Сколько единиц в двоичной записи числа   4²⁰¹⁶  + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 6 = 4 + 2:

 

                              4²⁰¹⁶  + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 = 2⁴⁰³² + 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ + 2² + 2¹

 

После перевода числа  2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц  в разности 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰  будет  2018-1800 = 218 единиц + 1 единица (число 24032) +  2 единицы от  чисел 2² и 2¹, то всего  получаем 218+3 = 221 единицу.

Ответ: 221

 

Задача 9.

Сколько единиц в двоичной записи числа   4²⁰¹⁶  – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием  2  и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 80 = 64 + 16:

 

           4²⁰¹⁶  – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80= 2⁴⁰³²- 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶ - 2⁴ = 2⁴⁰³²  + 2²⁴⁰⁰ - 2²⁰¹⁸ – 2⁶ - 2⁴

 

Далее рассмотрим два способа решения задачи.

 

 

1). После перевода числа  2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Из записи 2²⁴⁰⁰ - 2²⁰¹⁸– 2⁶ - 2⁴ возьмем разность первого и последнего чисел 2²⁴⁰⁰ - 2⁴   и получаем  2396  единиц. Вычитаем из них 2 единицы, которые дают числа 2⁶ и  2⁴, остается 2394 единицы.

Тогда всего получаем 1 + 2394 = 2395 единиц.

 

2). Будем решать данную задачу путем последовательных вычитаний.

После перевода числа  2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц  в разности 2⁴⁰⁰⁰ – 2²⁰¹⁸  будет  4000-2018 = 382 и 2018 нулей.

Оставляем  381 единицу, используя далее 1 единицу и 2018 нулей, что равно числу  2²⁰¹⁸.

Далее, в разности  22018 - 26  будет 2012 единиц и 6 нулей.

Оставляем 2011 единиц, остается число 2⁶. Тогда разность 2⁶ – 2⁴   получаем 2 единицы.

Складываем все единицы и получаем   1 + 381 + 2011 + 2 = 2395  единиц.

Ответ: 2395