или Давайте учиться дружно!
Значение логического выражения (ОГЭ, задания 3 и 8)
Методика преподавания темы на уроках в 8–9-х классах и для подготовки к ОГЭ"
Для максимально быстрого и однозначно верного решения задач будем придерживаться принципа: чем меньше вычислений и другой работы мы делаем, тем меньше времени потрачено на решение и тем меньше вероятность появления ошибок в результате.
Для более наглядного отображения логических отношений между множествами точек А и В будем использовать геометрическую схему в виде кругов Эйлера (рис.1).
Точка принадлежит множеству А, если она находится внутри круга, его ограничивающего, что
записывается в виде А=1 (истина), иначе А=0 (ложь).
Правил при получении результатов выполнения логических операций много, а исключения всего два, поэтому и будем решать задачи именно через исключения.
Результатом применения логических операций могут быть только истина (1) или ложь (0).
Существуют всего три базовые логические операции, при помощи которых строятся логические выражения:
НЕ, И и ИЛИ:
НЕ: инверсия (отрицание). Обозначается знаком ¬, например, ¬А). Результат применения: ¬1 = 0, ¬0 = 1, т.е. истина превращается в ложь, а ложь – в истину. Будем говорить, что операция НЕ (¬) переворачивает результат (значение);
(например, А ˄ В либо А & В). Результатом выполнения конъюнкции служит
пересечение множеств А и В (на рис.2 выделено желтым цветом). При этом точка
принадлежит пересечению множеств А и В, если она принадлежит одновременно обоим
множествам:
А & B = 1 при А=1 и В=1.
Во всех остальных случаях в результате применения выражения И получаем ложь.
Т.о,. исключение № 1:
«И» правда, когда все части выражения правда;
Результатом выполнения дизъюнкции служит объединение множеств А и В
(на рис.3 выделено зеленым цветом). При этом точка не принадлежит объединению
множеств А и В, если она не принадлежит ни А, ни В:
А ˅ B = 0 при А=0 и В=0.
Во всех остальных случаях в результате применения выражения ИЛИ получаем правду.
Т.о., исключение № 2:
«ИЛИ» ложно, когда все части выражения ложны.
При вычислении логических выражений следует помнить, что логические операции выполняются в следующем порядке: НЕ, И, ИЛИ. Как и в математике, скобки могут поменять последовательность их выполнения.
При этом любая операция, которая выполняется последней, может поменять результат, а операция НЕ, стоящая перед скобками, переворачивает результат, полученный в скобках.
Применяя все выше сказанное, будем вычислять значение логического выражения от последней операции к первой, используя только два исключения и не открывая скобки.
Желающим решать задачи, открывая скобки в выражениях, необходимо знать законы алгебры логики!
Законы рефлексивности:
a ∧ a = a, то есть 0*0 =0 или 1*1 = 1
a ∨ a = a, то есть 0+0=0 или 1+1 = 1
Законы коммутативности:
a ∧ b = b ∧ a, то есть a*b = b*a
a ∨ b = b ∨ a, то есть b+b = b+a
Законы ассоциативности:
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c), то есть (a*b) * c = 1 при a=b=c=1 или равно 0 в противном случае
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), то есть (a+b)+c = 0 при a=b=c=0 или равно 1 в противном случае
Законы дистрибутивности:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c), то есть a*(b+c) = (a*b) + (a*c), то есть 0*(bVc) = 0 или 1*(bVc) = bVc
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) , то есть a+(b*c) = (a+b) * (a+c), то есть (1+b)*(1+c) = 1 или 0+(b*c) = b*c
Закон отрицания отрицания:
¬ (¬ a) = a, то есть -(-a) = a
Законы поглощения:
a ∧ (a ∨ b) = a, то есть a*(a+b) равно 0 при а=0 или 1 – в обратном случае.
a ∨ (a ∧ b) = a, то есть a+(a*b) равно 1 при а=1 или 0 – в обратном случае.
Законы де Моргана:
¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b, то есть 0 при a=b=1 и =1 – в обратном случае.
¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b, то есть -(1) = 0 или –(0) = 1, то есть = 0 при а=1 или b=1 и 1 – в обратном случае.
Другими словами:
Если перед скобкой стоит знак НЕ, то при открытии скобок следует менять на противоположные все знаки, стоящие перед выражениями ("+" на "-" и наоборот) и логические операции ("И" на "ИЛИ" и наоборот):
¬ (А & В) = (¬ А) V (¬ В), то есть НЕ (А И В) = (НЕ А) ИЛИ (НЕ В)
¬( А V В) = (¬ А) & (¬ В), то есть НЕ (А ИЛИ В) = (НЕ А) И (НЕ В)
Например,
НЕ ((Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная)) =
=НЕ (Первая буква гласная) ИЛИ НЕ (Последняя буква согласная)
При открытии скобок с математическими сравнениями внутри следует помнить, что знаков сравнения всего три: > (больше), < (меньше) и = (равно), и при открытии скобок с отрицанием перед ними следует менять эти знаки на противоположные, то есть:
НЕ ( > ) заменяется на (<=)
НЕ ( < ) заменяется на (>=)
НЕ (=) заменяется на два знака (<>)
или наоборот:
НЕ ( ≥ или >= ) заменяется на ( < )
НЕ ( ≤ или <= ) заменяется на ( > )
НЕ (<>) заменяется на ( = ).
Главное здесь – не забывать про строгое равенство – знак «=»!
Рассмотрим решение задач на примерах.
Задача 1
Для какого из приведённых значений числа X ложно высказывание:
НЕ (X < 5) ИЛИ (X < 4) ?
1) 6
2) 5
3) 4
4) 3
Решение:
Последней операцией при вычислении этого выражения будет ИЛИ, а для нее действует исключение № 2.
Следовательно,
НЕ (X < 5) ИЛИ (X < 4) = 0
при 0 ИЛИ 0 = 0
В левой части выражения тоже два действия. Разложим и их по порядку. Последней здесь выполняется операция НЕ, которая переворачивает результат выполнения действия в скобках. Тогда
НЕ (X < 5) = 0
при НЕ ( 1 ) = 0
Отсюда следует, что выражение в левой скобке соответствует истине, а в правой – лжи (соответственно, при открытии скобок переворачиваем математический знак на противоположный, не забывая и про знак «=»), т.е.
4 ≤ Х < 5
Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
Задача 2
Для какого из приведённых значений числа X истинно высказывание:
НЕ (X < 7) И (X < 8)?
1) 5
2) 6
3) 7
4) 8
Решение:
Последней операцией при вычислении этого выражения будет И, а для нее действует исключение № 1.
Следовательно,
НЕ (X < 7) И (X < 8) = 1
при 1 И 1 = 1
В левой части выражения тоже два действия, разложим и их по порядку. Последней здесь выполняется операция НЕ, которая переворачивает результат выполнения действия в скобках.
Тогда НЕ (X < 7) = 1
при НЕ ( 0 ) = 1
Отсюда следует, что выражение в левой скобке соответствует лжи (соответственно, при открытии скобок переворачиваем математический знак на противоположный, не забывая и про знак «=»), а в правой – истине т.е.
7 ≤ Х < 8
Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
Задача 3
Для какого из приведённых имён ложно высказывание:
НЕ ((Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная))?
1) Вера
2) Степан
3) Анна
4) Иван
Решение:
Запишем задание в виде схемы:
НЕ ( (Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная) ) = 0
при НЕ ( И = 1 ) = 0
Последней в этом выражении будет выполняться операция НЕ, тогда для получения лжи в результате ее выполнения в общих скобках должна быть истина.
Поэтому применим для решения выражения во внутренних скобках исключение № 1:
(Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная) = 1
когда обе части выражения истинны, т.е. первая буква имени – гласная, а последняя согласная, что соответствует имени Иван.
Ответ: 4
Задача 4
Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
(число < 40) ИЛИ НЕ (число чётное) ?
1) 137
2) 64
3) 9
4) 8
Решение:
Последней в этом выражении выполняется операция ИЛИ, тогда применяем исключение № 2.
Тогда (число < 40) ИЛИ НЕ (число чётное) = 0
0 ИЛИ НЕ ( 1 ) = 0
При открытии скобок в левой части выражения меняем знак < на ≥, а в правой части учитываем, что отрицание перед скобкой переворачивает результат при ее открытии, т.е. в правой скобке записана истина.
Таким образом, получаем (число ≥ 40) ИЛИ (число четное), что соответствует числу 64.
Ответ: 2
Задача 5
Напишите наименьшее число x, для которого истинно высказывание:
(x > 16) И НЕ (x нечётное).
Решение:
Если (x > 16) И НЕ (x нечётное) = 1, то (х>16)=1, то есть х ≥ 17,
и НЕ(х нечетное)=1, то есть х - четное. Тогда наименьшим четным числом будет 18.
Ответ: 18
Задача 6
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
Линкор | Корвет | 3320 |
Линкор & Корвет | 1300 |
Линкор | 2100 |
Сколько страниц в тысячах будет найдено по запросу Корвет ?
Решение:
Применив формулу ИЛИ = А + В - И, получаем:
3320 = 2100 + Корвет - 1300
Тогда Корвет = 3320 - 2100 + 1300 = 2520
Ответ: 2520
Задача 7
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
Швеция | 3200 |
Финляндия | 2300 |
Швеция & Финляндия | 100 |
Сколько страниц в тысячах будет найдено по запросу Швеция | Финляндия ?
Решение:
Применив формулу ИЛИ = А + В - И, получаем:
Швеция | Финляндия = 3200 + 2300 - 100 = 5400
Ответ: 5400
17.12.2023
© 2018–2025 Звездина Вера Алексеевна, v_zvezdina@mail.ru
![]() |