Понятная информатика,

Справочная информация

 

Для максимально быстрого и однозначно верного решения задач будем придерживаться принципа: чем меньше вычислений и другой работы мы делаем, тем меньше вероятность появления ошибок в результате.

Для более наглядного отображения логических отношений между множествами точек  А и В

будем использовать геометрическую схему в виде кругов Эйлера (рис.1).

 

Точка принадлежит множеству А, если она находится внутри круга, его ограничивающего, что

записывается в виде  А=1 (истина), иначе А=0 (ложь).

Правил при получении результатов выполнения логических операций много, а исключения всего два, поэтому и будем решать задачи именно через исключения.

 

Результатом применения логических операций могут быть только истина (1) или ложь (0).

 

Существуют всего три базовые логические операции, при помощи которых строятся логические выражения: 

НЕ, И  и  ИЛИ:

 

• НЕ: отрицание (инверсия). Обозначается знаком ¬ ,например, ¬А). Результат применения:   ¬1 = 0,  ¬0 = 1 , т.е. истина превращается в ложь, а ложь – в истину.  Будем говорить,  что        операция  НЕ             (¬)  переворачивает результат (значение);

 

• И:   конъюнкция (логическое умножение). Обозначается  знаками  ˄ либо &, 

                (например, А ˄ В либо А & В).  Результатом выполнения конъюнкции служит

                пересечение множеств  А и  В (на рис.2  выделено желтым  цветом). При этом точка

                принадлежит пересечению множеств А и В, если она принадлежит одновременно обоим

                множествам:

                                                         А & B = 1 при А=1 и В=1.

                Во всех остальных случаях в результате применения выражения  И  получаем ложь.

                Т.о,. исключение  № 1:

                                                            «И»  правда, когда все части выражения правда;

                          

• ИЛИ: дизъюнкция (логическое сложение). Обозначается ˅ (например, А ˅ В).

                   Результатом выполнения дизъюнкции служит объединение множеств  А и  В

                   (на рис.3  выделено  зеленым  цветом). При этом точка не принадлежит объединению

                   множеств А и В,  если  она  не принадлежит ни А, ни В:

                                                                  А  ˅  B = 0 при А=0  и В=0.  

                   Во всех остальных случаях в результате применения выражения  ИЛИ получаем  правду.

                   Т.о., исключение  № 2:

                                                             «ИЛИ»  ложно, когда все части выражения ложны.

 

При вычислении логических выражений следует помнить, что логические операции выполняются в следующем порядке: НЕ,  И, ИЛИ.  Как и в математике, скобки могут поменять последовательность  их выполнения.

 

При этом  любая операция, которая выполняется последней, может поменять результат, а операция НЕ, стоящая перед скобками, переворачивает результат, полученный в скобках.

 

Применяя все выше сказанное, будем вычислять значение логического выражения от последней операции к первой, используя только два исключения и не открывая скобки.

 

Желающим решать задачи, открывая скобки в выражениях, необходимо знать правило (законы) де Моргана: 

    Если перед скобкой стоит знак НЕ, то при открытии скобок следует менять на противоположные все знаки (стоящие 

     перед выражениями "+" на "-" и наоборот) и логические операции ("И" на "ИЛИ" и наоборот):

• ¬ (А & В) = (¬ А) V (¬ В), то есть НЕ (А И В) = (НЕ А) И (НЕ В)
• ¬( А V  В) = (¬ А) & (¬ В), то есть НЕ (А ИЛИ В) = (НЕ А) ИЛИ (НЕ В)

Например, 

   НЕ ((Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная)) = НЕ (Первая буква гласная) ИЛИ НЕ (Последняя буква согласная)

При открытии скобок с математическими сравнениями внутри следует помнить, что знаков сравнения всего три: > (больше),  < (меньше) и = (равно), и при открытии скобок с отрицанием перед ними следует менять эти знаки на противоположные, то есть в случае простого сравнения
      НЕ (>, больше) = (< , меньше), НЕ (< , меньше) = (> , больше), Не (= , равно) = (<> , неравно),
а в случае сложного сравнения (использования сочетания двух знаков) заменяем один используемый знак на два оставшихся, то есть:

            НЕ ( > ) заменяется на (<=)

            НЕ ( < ) заменяется на (>=)

            НЕ (=) заменяется на два знака (<>),

а два используемых знака из трех на один оставшийся, то есть:
            НЕ ( ≥  или  >= больше или равно) заменяется на (<)

            НЕ ( ≤  или  <= больше или равно) заменяется на (>)

            НЕ (=) заменяется на (<>).

 

Главное здесь – не забывать про строгое равенство – знак «=»!

 

 

Рассмотрим решение задач на примерах.

 

Задача 1.

Для ка­ко­го из приведённых зна­че­ний числа X ложно высказывание: 

                                                  НЕ (X < 5) ИЛИ (X < 4) ?

1) 6  

2) 5

3) 4

4) 3

 

Решение:

Последней операцией при вычислении этого выражения будет ИЛИ, а для нее действует исключение № 2.

Следовательно,

                                       НЕ (X < 5)    ИЛИ     (X < 4)  =  0                                                                           

                             при            0           ИЛИ         0      =  0

                                                    

           В левой части выражения  тоже два действия. Разложим и их по порядку.  Последней здесь выполняется операция НЕ, которая переворачивает результат выполнения действия в скобках. Тогда

                                                  НЕ (X < 5) = 0 

                              при              НЕ (   1   )  =  0

          Отсюда следует, что  выражение в левой скобке соответствует истине, а в правой – лжи (соответственно, при открытии скобок переворачиваем математический знак на противоположный, не забывая и про знак «=»), т.е.                        

                                                             4 ≤ Х < 5

Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

 

Задача 2.

Для ка­ко­го из приведённых зна­че­ний числа X ис­тин­но высказывание:

                                                         НЕ (X < 7)  И  (X < 8)?

1) 5

2) 6

3) 7

4) 8

Решение:

Последней операцией при вычислении этого выражения будет И, а для нее действует исключение № 1.

Следовательно,

                                       НЕ (X < 7)      И      (X < 8) =  1                                                        

                               при            1          И          1      =  1

                                                   

           В левой части выражения  тоже два действия, разложим и их по порядку. Последней здесь выполняется операция НЕ, которая переворачивает результат выполнения действия в скобках.

Тогда                                        НЕ (X < 7)   =   1 

                              при              НЕ (   0   )   =   1

          Отсюда следует, что  выражение в левой скобке соответствует лжи (соответственно, при открытии скобок переворачиваем математический знак на противоположный, не забывая и про знак «=»), а в правой – истине т.е.                        

                                                     7  ≤ Х <  8

Таким образом, правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

 

Задача 3.

Для ка­ко­го из приведённых имён ложно высказывание:

                                   НЕ ((Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная))?

 

1) Вера

2) Степан

3) Анна

4) Иван

 

Решение:

Запишем задание в виде схемы:

               НЕ (  (Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная)  ) = 0          

     при    НЕ  (                                         И = 1                                            ) = 0

 

Последней в этом выражении будет выполняться операция НЕ, тогда для получения лжи в результате ее выполнения в общих скобках должна  быть истина.              

Поэтому применим для  решения выражения во внутренних скобках исключение № 1:

                               (Первая буква гласная)  И  (Последняя буква согласная) = 1

когда обе части выражения истинны, т.е. первая буква имени – гласная, а последняя согласная, что соответствует имени  Иван.

Ответ: 4

 

Задача 4.

Для ка­ко­го из приведённых чисел ложно высказывание:

                                        (число < 40) ИЛИ НЕ (число чётное)  ?

1) 137 

2) 64                   

3) 9                 

4) 8

 

Решение:

Последней в этом выражении выполняется операция ИЛИ, тогда применяем исключение № 2.

Тогда                                     (число < 40)   ИЛИ   НЕ (число чётное)  =  0

                                                        0          ИЛИ   НЕ (         1            )  =  0

При открытии скобок в левой части выражения меняем знак  <  на   ≥, а в правой части учитываем, что отрицание перед скобкой переворачивает результат при ее открытии, т.е. в правой скобке записана истина.

Таким образом, получаем   (число ≥ 40)  ИЛИ (число четное), что соответствует числу 64.

Ответ:  2

 

Задача 5.

Для какой из приведённых последовательностей цветных бусин истинно высказывание:

                            (Вторая бусина жёлтая) И НЕ(Четвёртая бусина зелёная) И НЕ(Последняя бусина красная) 

(К — красный, Ж — жёлтый, С — синий, З — зелёный) ?

 

1) СЗККЖК

2) ЖЖКСЗК

3) СЖСЗКЗ

4) КЖЗСКС

 

Решение:

Прежде всего, отметим, что данное выражение составлено из трех последовательных операций И, тогда, согласно исключению № 1, истина будет результатом выражения только в случае истинных результатов во всех трех частях выражения. Т.к. перед второй и третьей скобками стоит НЕ, то в выражение в этих скобках должно дать в ответе ложь, а в первой скобке – истину, то получаем выражение 

                           (Вторая бусина жёлтая) И (Четвёртая бусина НЕ зелёная) И (Последняя бусина НЕ красная)   =  1

Проверяем поочередно варианты ответа по частям данного выражения и вычеркиваем ложные:

Вторая бусина жёлтая:            1) СЗККЖК

                                                  2) ЖЖКСЗК

                                                  3) СЖСЗКЗ

                                                  4) КЖЗСКС

Четвёртая бусина НЕ зелёная: 1) СЗККЖК

                                                  2) ЖЖКСЗК

                                                  3) СЖСЗКЗ

                                                  4) КЖЗСКС

Последняя бусина НЕ красная:  1) СЗККЖК

                                                  2) ЖЖКСЗК

                                                  3) СЖСЗКЗ

                                                  4) КЖЗСКС

находим, что истинным ответом здесь будет вариант 4.

 

Ответ:  4

 

Задача 6.

Напишите наименьшее число x, для которого истинно высказывание:

                         (x > 16) И НЕ (x нечётное).

Решение:

Если  (x > 16) И НЕ (x нечётное) = 1, то   (х>16)=1, то есть  х ≥ 17,   

и  НЕ(х нечетное)=1, то есть  х - четное. Тогда наименьшим четным числом будет 18.

Ответ: 18

 

Задача 7.

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел 

поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Сколько страниц в тысячах будет найдено по запросу Корвет ?

 

Решение:

Применив формулу ИЛИ = А + В - И, получаем:

3320 = 2100 + Корвет - 1300

Тогда Корвет = 3320 - 2100 + 1300 = 2520

Ответ: 2520

Задача 8.

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Сколько страниц в тысячах будет найдено по запросу Швеция | Финляндия ?

 

Решение:

Применив формулу ИЛИ = А + В - И, получаем:

Швеция | Финляндия = 3200 + 2300 - 100 = 5400

 

Ответ: 5400